Analysis Band 2: Ein Lernbuch by Ehrhard Behrends PDF

By Ehrhard Behrends

ISBN-10: 383480102X

ISBN-13: 9783834801029

ISBN-10: 3834891770

ISBN-13: 9783834891778

Das Buch ist im Stil der research 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders in depth Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer research 2 (Funktionenräume, Integration, Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen) enthält das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden können. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise für konkrete Zahlen - unter anderem für die Zahl e - geführt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelöf behandelt. Und schließlich gibt es noch einen ausführlichen Anhang zum Thema "Englisch für Mathematiker": used to be muss guy beachten, wenn guy sich auf Englisch über Mathematik unterhalten möchte? In der 2. Auflage wurde der textual content an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt überarbeitet.

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Dazu wird bewiesen, dass A von erster Kategorie ist. Insbesondere muss es stetige Funktionen geben, die nicht in A liegen, die also nirgendwo differenzierbar sind. • Dazu wird, f¨ ur alle n ∈ N , eine Menge An als die Teilmenge derjenigen Funktionen in C [ 0, 1 ] definiert, f¨ ur die gilt: Es gibt ein x < 1, so dass f¨ ur 0 < h mit x + h ≤ 1 stets |f (x + h) − f (x)| ≤ nh gilt. Oder es gibt ein x > 0, so dass f¨ ur die h < 0 mit x + h ≥ 0 stets gilt: |f (x + h) − f (x)| ≤ n|h|. • Dann beweist man A ⊂ An .

Bemerkungen: 1. Der Satz wurde unter drei Voraussetzungen gezeigt: M ist vollst¨andig; die (Kn ) bilden eine absteigende Folge; die Folge (rn ) konvergiert gegen Null. Alle drei sind wesentlich: • Die Vollst¨andigkeit von M : Im metrischen Raum ] 0, 3 [ betrachten wir ur n = 1, 2, . . Dann ist Kn := Krn (xn ) = ] 0, 2/n ]. xn := rn := 1/n f¨ Es gilt zwar rn → 0 und K1 ⊃ K2 · · · , aber Kn = ∅. • Die Kugeln m¨ ussen absteigen: Das ist eine offensichtliche Voraussetzung, man k¨ onnte als Gegenbeispiel etwa Kn := K1/n (n) in R betrachten; der Raum ist vollst¨ andig, es gilt rn = 1/n → 0, und trotzdem ist wieder Kn = ∅.

4) wird auch durch das Kategorienargument nur die Existenz garantiert, eine konkrete irrationale Zahl ist damit noch nicht gefunden. 2. Als wesentlich anspruchsvollere Anwendung kann man mit einem Kategorienargument auch zeigen, dass es stetige Funktionen auf [ 0, 1 ] gibt, die nirgendwo differenzierbar sind. Die Einzelheiten sind sehr technisch, hier ist eine Skizze der wesentlichen Schritte: • Wir betrachten den vollst¨ andigen metrischen Raum C [ 0, 1 ] aus dem vorigen Abschnitt, nach dem Satz von Baire ist er von zweiter Kategorie in sich.

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by Brian
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